Parte B: A partir de una tabla de frecuencias y gráficos dados

La siguiente tabla de frecuencias (ver Tabla 1) resume los datos de una encuesta sobre el tiempo (en minutos) que demoran en ser atendidos 40 comensales (seleccionados aleatoriamente) en un restaurante de la ciudad.

Tabla 1

Con base en la Tabla 1, desarrolla los siguientes ítems y entregale a tu profesor:

1. Interpreta N4, n3, H5, h7
2. Encuentra la media, mediana y moda e interpreta cada uno.
3. Realiza el diagrama circular y el polígono de frecuencias correspondiente a la Tabla 1.

2. El siguiente histograma de frecuencias, resume las edades (en meses) de 50 niños que llegaron a un parque de la ciudad (acompañados de sus padres) el domingo pasado.

Con base en el histograma, desarrolla los siguientes ítems y entregale a tu profesor:

1. Interpreta N4, n7, H2, h4
2. Encuentra la media, mediana y moda e interpreta cada uno.

Parte A: Apliquemos lo aprendido.

Situación problema 1

El profesor de inglés del colegio El Futuro, desea hacer un análisis estadístico de las calificaciones de 50 de sus estudiantes de grado décimo (seleccionados aleatoriamente); para ello pide ayuda a uno de los profesores del área de matemáticas del colegio. El siguiente sistema de datos representa las notas de los 50 estudiantes seleccionados:

5, 2, 4, 9, 7, 1, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 3, 6, 6, 3, 3, 6, 7, 6, 1, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 3, 4, 6, 5, 5, 5, 6, 7.

Para hacer tal análisis estadístico se requiere:

1. Organizar los datos en una tabla de frecuencias.
2. Representar los datos mediante dos tipos de gráficos estadísticos (es obligatorio realizar el histograma; y el otro gráfico es de opción libre).
3. Interpretar n4, F2, hi1, Hi3
4. Responder las siguientes preguntas: ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvieron una nota inferior a 9 en la prueba de inglés? ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota superior a 8?

Supón que tú eres el profesor del área de matemáticas a quien le pidieron ayuda, entonces desarrolla los ítems anteriores. Presenta este trabajo en físico a tu profesor.

Es tiempo de poner a prueba lo aprendido. Da click sobre cada imagen (Parte A y Parte B)

Referencia:

• Díaz, D (2015). Apuntes del curso Análisis Exploratorio de Datos y Estadística. Universidad del Valle - IEP - AEM.

En este apartado se encuentra un documento para el docente sobre el manejo de este Objeto de Aprendizaje (Recurso) en el aula de clase. Este material se puede adaptar según las necesidades de cada docente.

Para acceder a él solo presiona el siguiente enlace y podrás descargarlo Material para el docente

Esperamos que este material sea de gran ayuda.

¡Mucha suerte!





Referencia:

• Cier - Sur (2014). Objetos de Aprendizaje Producidos para grado 11 en Matemáticas. Un análisis de información con criterios estadísticos: Descripción gráfica de un análisis de datos. Recuperado de http://objetos.ciersur.co/LO/M_G11_U05_L05/M_G11_U05_L05/Material/MG_M_G11_U05_L05.pdf

¡Bienvenidos!

En este Blog encontrarás un recurso sobre el tema Análisis de datos y elaboración de gráficos estadísticos.  Este recuso ha sido diseñado con el fin  de enriquecer aun más esta parte de la estadística descriptiva. 

Aquí encontrarás una introducción al tema, donde se resalta la importancia y utilidad de la estadística descriptiva, luego se presenta un recuento sobre manejo de datos y elaboración de tabla de frecuencias. 

Después se presenta una conceptualización sobre los tipos de gráficos estadísticos más usados para la representación de resultados de los análisis de datos estadísticos y una explicación de cómo elaborar tales gráficos. Posteriormente encontrarás una serie de ejemplos y ejercicios sobre la elaboración de tabla de frecuencias y su representación mediante gráficos.

Para complementar, se proponen más actividades sobre la elaboración de tablas de frecuencias  y gráficos. 

Nota: Se invita a participar respetuosamente en este blog, mediante comentarios sobre el contenido del mismo y otros aspectos que consideres importantes. 

Ejemplo 1

La Federación Nacional de Cafeteros de Colombia, realiza cada año un análisis estadístico de la cantidad de café que se produce en la zona cafetera. Para esto realiza una toma de datos en los principales centros de acopio de esta zona, recolectando datos como poblaciones productoras y cantidad de kilogramos producidos, plantaciones y cantidad de kilogramos producidos por metro cuadrado. Los datos presentados en la Imagen 1 son los valores del peso de las cargas entregadas por los caficultores en un determinado centro de acopio.

Observa paso a paso cómo se construye la tabla de frecuencias para estos datos.

Imagen 1

Imagen 2

Lo primero es organizar los datos de menor a mayor. (Ver imagen 2)

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Observa paso a paso cómo se construye la tabla de frecuencias para estos datos.

m=√147→ m=12.12 que se redondea a 12, es decir, se deben construir 13 intervalos.

R=98-34→ R=64

Ci= (64+1)/13→ Ci=5

Li-1=34-(1/2)*(1)→ Li-1=33.5

Li+1= 33.5+5→ Li+1=38.5

Se procede a construir la tabla. (ver Tabla 1)

Tabla de frecuencias del peso de las cargas entregadas por los caficultores

Tabla 1

Retomemos las interpretaciones. Por ejemplo, de la Tabla 1 se concluye que:

• n4: 19 de las cargas entregadas por los caficultores pesan entre 48.5 kg y 53.5 kg.
• H5: el 38.4% de las cargas entregadas por los caficultores pesan 58.5 kg o menos (o lo que es lo mismo: el 38.4% de las cargas entregadas por los caficultores pesan entre 33.5 kg y 58.5 kg.

Ahora es tu turno de interpretar. Interpreta los siguientes datos: f2, F10, h12, H8, Xi’5. Responde además: si se sabe que 19 de las cargas entregadas por los caficultores tienen un determinado peso, es decir, se desconoce a qué clase pertenece ese dato, ¿entre qué pesos (en kg) deberían estar esas 19 cargas para que la frecuencia relativa acumulada hasta esa clase, no supere el 50%?

Observa que Hi se acerca a 1, ¿Sabes por qué? Explica.

Las siguientes imágenes corresponden al Histograma de frecuencias y al Polígono de frecuencias absolutas (respectivamente) de la Tabla 1.

Ejemplo 2

El director de un hospital de la ciudad, quiere conocer los tiempos (en minutos) de espera para recibir atención de una muestra de 40 personas seleccionadas aleatoriamente, para mejorar la calidad de atención; para ello, toma el tiempo con un cronómetro desde el momento que llegan a la sala de espera, hasta que entran a algún consultorio médico. El siguiente sistema de datos representa los resultados que obtuvo:

15.8; 26.4; 17.3; 11.2; 23.9; 24.8; 18.7; 13.9; 9.0; 13.2; 22.7; 9.8; 6.2; 14.7; 17.5; 26.1; 12.8; 28.6; 17.6; 23.7; 26.8; 22.7; 18.0; 20.5; 11.0; 20.9; 15.5; 19.4; 16.7; 10.7; 19.1; 15.2; 22.9; 26.6; 20.4; 21.4; 19.2; 21.6; 16.9; 19.3

Para realizar un análisis sobre el tiempo que esperan los pacientes para ser atendidos, se debe construir una tabla de frecuencias y dos gráficos distintos. Además, interpretar N4, n3, H5, h7

Veamos cómo se hace.

Datos necesarios para construir la tabla de frecuencias:

• m= √40 → m=6.32→ se redondea a 7
• R=28.6-6.2→ R=22.4
• Ci=(22.4+0.1)/7→ Ci=3.21
• Li-1=6.2-(1/2)*(0.1)→ Li-1=6.15

Con la información anterior se construye la siguiente tabla (Ver Tabla 2).

Tabla 2

Interpretación:

• N4: 20 de los pacientes seleccionados esperan 18.99 minutos o menos para ser atendidos
• n3: 6 de los pacientes seleccionados esperan entre 12.57 y 15.78 minutos para ser atendidos.
• H5: el 72.5% de los pacientes seleccionadas esperan 22.2 minutos o menos para ser atendidos.
• h7: el 12.5% de los pacientes seleccionados esperan entre 25.41 y 28.62 minutos para ser atendidos.

Hasta aquí te acompañamos. Supón que eres el director del hospital, y debes entregar un un análisis sobre el tiempo que esperan los pacientes para ser atendidos. Construye el histograma y diagrama circular correspondiente a la Tabla 1 y entrégalos en físico a tu profesor.




Referencias:

• Cier - Sur (2014). Objetos de Aprendizaje Producidos para grado 11 en Matemáticas. Un análisis de información con criterios estadísticos: Descripción gráfica de un análisis de datos. Recuperado de http://objetos.ciersur.co/LO/M_G11_U05_L05/M_G11_U05_L05/index.html
• Díaz, D (2015). Apuntes del curso Análisis Exploratorio de Datos y Estadística. Universidad del Valle - IEP - AEM.

Diagramas 

Los diagramas son una representación gráfica de la distribución de frecuencias, es decir, es una representación visual de una determinada tabla de frecuencias. Por eso, para la construcción de los diagramas se requiere tener a mano la tabla de distribución de frecuencias.

1. Histograma

El histograma (de frecuencias) en sí es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

1. Las bases de los rectángulos se localizan en el eje horizontal. La longitud de la base es igual al ancho de la clase. Sobre este eje (llamado también el eje de las abscisas) se ubican las clases (algunos histogramas presentan sobre este eje,  el dato que representa a todo el intervalo, es decir, la marca de clase).
2. Las alturas de los rectángulos se registran sobre el eje vertical  y corresponden a las frecuencias absolutas de las clases. Sobre este eje se ubican las frecuencias absolutas.
3. Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias relativas de las clases.

Una sugerencia para delimitar bien cada rectángulo, es colorear de distinto color, cada uno de estos. Los histogramas también llevan un título.

Ejemplo:

Maneras de construir un histograma:

1. Usando un paquete de programas que contenga una hoja de cálculo. Miremos el siguiente video tutorial usando una hoja de cálculo. 

2. Construcción a mano.

La siguiente tabla de frecuencias (Ver Tabla 2) resume las calificaciones entre 10 y 100 puntos durante una prueba.

Para construir el histograma correspondiente a la Tabla 2, consigue una hoja milimetrada, lápiz, borrador, regla y colores. Se deberán tener claras las escalas que se usarán. Para este caso, como el ancho de la primera clase es 10, en el eje horizontal se tomarán dos cuadros para el ancho de la primera clase (longitud de la base del primer rectángulo); y como el ancho de las otras clases fue 20, se tomarán cuatro cuadros para el ancho de las clases restantes (longitud de la base de las otros rectángulos).

Con la Tabla 2 a mano, sigue estos pasos para construir el histograma correspondiente.

Paso 1.   Construye un plano cartesiano. Ubica sobre el eje horizontal (de izquierda a derecha y en forma ordenada) las clases (intervalos) construidos (por ejemplo, se puede escribir 10 - 20 en la primera clase, luego 20 - 40 en la segunda clase, y así sucesivamente). Nombra este eje (por ejemplo, como Número de personas que presentaron la prueba).

Luego ubica sobre el eje vertical (de abajo hacia arriba y en forma ordenada) las frecuencias absolutas de las clases (es conveniente escribirlas todas, del 1 al 100). Nombra este eje (por ejemplo, como Número de puntos obtenidos en la prueba).

Paso 2. Traza los rectángulos (o barras) de cada clase, hasta su correspondiente frecuencia absoluta (por ejemplo, para la clase 10 - 20 traza un rectángulo, hacia arriba, hasta la frecuencia 12, y así sucesivamente).

La Imagen 2 muestra cómo queda el histograma

Aunque es muy importante organizar datos para resumir la información que se tenga, es aún más importante sacar conclusiones sobre los resultados que se tienen en la tabla (por ejemplo, para tomar decisiones). En ese sentido, observa las siguientes interpretaciones abstraídas de la Tabla 2.

• n4:  25 personas obtuvieron entre 60 y 70 puntos.
• H3: el 70% de las personas obtuvieron entre 10 y 60 puntos.

Ahora es tu turno de interpretar. Interpreta los siguientes datos: f2, F1, h4.

2. Diagrama circular 

El diagrama circular, también conocido como diagrama de torta, como su nombre lo indica es una representación de los datos en un circulo, de modo que la frecuencia de cada valor viene dada por un trozo de área del circulo. Así, el circulo queda dividido en sectores cuya amplitud es proporcional a las frecuencias de los valores. Este diagrama es utilizado en aquellos casos donde interesa no solo mostrar el número de veces que se da una característica o atributo de manera tabular, sino más bien de manera gráfica, para visualizar mejor la proporción en que aparece esa característica respecto del total. 

Ejemplo: 

Maneras de construir un diagrama circular: 

1. Construcción con ayuda de una hoja de cálculo, de un programa informático. Miremos el siguiente video tutorial usando una hoja de cálculo. 

2. Construcción a mano

Para construir el diagrama circular, tomaremos el mismo ejemplo del video anterior. La siguiente tabla de frecuencias (Ver Tabla 3) resume las calificaciones de 20 estudiantes.

Cálculo del porcentaje para cada sección

Para hacerlo, multiplica la frecuencia relativa por 360º. ¿Por qué? Pues bien, la lógica de esto, es que hay 360º en un círculo; se sabe que 3 es el 15% de 20, entonces sólo resta averiguar cuánto es el 15% de 360. Por tanto, la suma de todos lo grados debe dar 360º.

Al hacerlo para cada frecuencia relativa, se obtiene:

0,15*360º=54º

0,3*360º=108

0,1*360º=36º

0,2*360º=72

0,25*360º=90º

54º+108º+36º+72º+90º=360º

Para hacer el diagrama circular necesitas compás, transportador, regla, lápiz y colores.

• Usa un compás para dibujar el círculo y un transportador para medir los ángulos. Luego dibuja el radio del círculo, empezando en el centro exacto del círculo (el compás marca el centro del círculo) y dibujando una línea recta hacia afuera del círculo (esta puede ser vertical u horizontal).
• Coloca el transportador en el círculo para que el punto de mira de los 90º esté situado directamente encima del centro del círculo. El punto del cero debe estar alineado verticalmente a lo largo de la línea del radio.
• Dibuja la división de cada sección. Dibuja las secciones marcando la primera división contra el eje del transportador usando el ángulo correcto de acuerdo a tus cálculo anteriores. Cada vez que agregues una sección, el radio cambia a la línea vertical que acabas de dibujar. Luego colorea cada segmento del círculo.

3. Diagrama de barras

El diagrama de barras (o gráfico de barras) es un gráfico que se utiliza para representar los datos de una tabla de frecuencias (se utiliza para datos no agrupados). Está formado por barras rectangulares cuya altura es la frecuencia absoluta de cada uno de los datos.

Las principales características del diagrama de barras son:

• En el eje horizontal se colocan los valores de los datos (las clases).
• En el eje vertical se colocan las barras proporcionales a la frecuencia relativa de cada dato.
• Las barras pueden ser horizontales o verticales, según si los valores de los datos se reflejan en el eje horizontal o vertical.
• Todas las las barras deben tener el mismo ancho y no deben superponerse las unas con las otras.

La Imagen 5 es un ejemplo de ambos tipos de diagramas de barras.

Maneras de construir un diagrama de barras: 

1. Construcción con ayuda de una hoja de cálculo, de un programa informático. Miremos el siguiente video tutorial usando una hoja de cálculo. 

2. Construcción a mano

La siguiente tabla de frecuencias (ver Tabla 3) resume los datos del número de clientes que llegan a un banco en un período de 1 minuto durante una hora pico.

Para construir el diagrama de barras correspondiente a la Tabla 3, consigue una hoja cuadriculada, lápiz, borrador, regla y colores. Se deberán tener en cuenta las escalas que se usarán. Para este caso, en el eje horizontal se tomarán dos cuadros para el ancho de cada clase (longitud de la base de todos los rectángulos); y en el eje vertical 1 cuadro será equivalente a una unidad (necesario para llegar a 25, que es el total de datos).

Con la Tabla 3 a mano, sigue estos pasos para construir el diagrama de barras correspondiente.

Paso 1.   Construye un plano cartesiano. Ubica sobre el eje horizontal (de izquierda a derecha y en forma ordenada) las clases (por ejemplo, 4 en la primera clase,  5 en la segunda clase y así sucesivamente). Nombra este eje (por ejemplo, como Número de clientes que llegan al banco).

Luego ubica sobre el eje vertical (de abajo hacia arriba y en forma ordenada) las frecuencias absolutas de las clases (es conveniente escribirlas todas, del 1 al 25). Nombra este eje (por ejemplo, como Número de ocasiones (veces) que llegan clientes al banco).

Paso 2. Traza las barras (rectángulos) de cada clase, hasta su correspondiente frecuencia absoluta (por ejemplo, para la clase 4 traza un rectángulo, hacia arriba, hasta la frecuencia 1, y así sucesivamente).

La Imagen 6 muestra cómo queda el diagrama de barras.

Al comparar el aspecto de los histogramas y los diagramas de barras, ¿puedes decir en qué se diferencian? Explica tu respuesta de forma verbal (individual) ante tu profesor y compañeros (recuerda pedir la palabra para hablar).

Para ejercitarnos un poco. Respecto a la Tabla 3, la interpretación de n3 es: en 3 ocasiones de un minuto llegan 6 clientes al banco.

Ahora es tu turno. De la Tabla 3 interpreta: ni7, fi9, N5, F11. Consigna tus respuestas en una hoja y entrégale a tu docente.

4. Polígono de frecuencias

El polígono de frecuencia es una representación gráfica ya sea de la frecuencia absoluta o la frecuencia absoluta acumulada de una tabla de frecuencias. Se utiliza tanto para datos agrupados, como para datos no agrupados.

Para el caso de datos agrupados, el polígono de frecuencias se construye a partir de los puntos medios de cada clase (intervalos), es decir, a partir de cada marca de clase. Se construye uniendo los puntos medios de cada clase localizados en la parte superior de los rectángulos de las gráficas.
La Imagen 7 es un ejemplo de polígono de frecuencias absolutas (para datos agrupados).

La Imagen 9 es un ejemplo de polígono de frecuencias absoluta (para datos no agrupados).

La Imagen 8 es un ejemplo de polígono de frecuencias absolutas acumuladas (para datos agrupados)

Para el caso de datos no agrupados, el polígono de frecuencias se construye a partir de los puntos que representan las frecuencias, uniendolos mediante segmentos.

La Imagen 9 es un ejemplo de polígono de frecuencias absoluta (para datos no agrupados).

Maneras de construir un polígono de frecuencia: 

1. Construcción con ayuda de una hoja de cálculo, de un programa informático. Miremos el siguiente video tutorial usando una hoja de cálculo. 

2. Construcción a mano

Construyamos el polígono de frecuencias absolutas correspondiente al ejemplo de la Tabla 3 (Número de clientes que llegan a un banco en períodos de 1 minuto).

Para construirlo, consigue una hoja cuadriculada, lápiz, regla y borrador. También será útil la Imagen 6.

Construye un plano cartesiano similar al de la Imagen 6, traza las barras con lápiz pero no las colorées. Luego, dibuja un punto en la parte superior de cada barra (este debe situarse en el medio). Por último, borra las barras que hiciste (conservando el punto medio de cada una de ellas), y une los puntos con segmentos.

La Imagen 10 muestra como queda el polígono de frecuencias correspondiente a la Tabla 3.

Referencias:

• WikiHow. Cómo hacer un gráfico circular. Recuperado de http://es.wikihow.com/hacer-un-gr%C3%A1fico-circular
• Universo Formulas (2015). Diagrama de barras. Recuperado de http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/diagrama-barras/